11052.카드구매하기

문제

요즘 민규네 동네에서는 스타트링크에서 만든 PS카드를 모으는 것이 유행이다.

PS카드는 PS(Problem Solving)분야에서 유명한 사람들의 아이디와 얼굴이 적혀있는 카드이다. 각각의 카드에는 등급을 나타내는 색이 칠해져 있고, 다음과 같이 8가지가 있다.

• 전설카드
• 레드카드
• 오렌지카드
• 퍼플카드
• 블루카드
• 청록카드
• 그린카드
• 그레이카드

카드는 카드팩의 형태로만 구매할 수 있고, 카드팩의 종류는 카드 1개가 포함된 카드팩, 카드 2개가 포함된 카드팩, ... 카드 N개가 포함된 카드팩과 같이 총 N가지가 존재한다.

민규는 카드의 개수가 적은 팩이더라도 가격이 비싸면 높은 등급의 카드가 많이 들어있을 것이라는 미신을 믿고 있다. 따라서, 민규는 돈을 최대한 많이 지불해서 카드 N개 구매하려고 한다. 카드가 i개 포함된 카드팩의 가격은 Pi원이다.

예를 들어, 카드팩이 총 4가지 종류가 있고, P1 = 1, P2 = 5, P3 = 6, P4 = 7인 경우에 민규가 카드 4개를 갖기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값은 10원이다. 2개 들어있는 카드팩을 2번 사면 된다.

P1 = 5, P2 = 2, P3 = 8, P4 = 10인 경우에는 카드가 1개 들어있는 카드팩을 4번 사면 20원이고, 이 경우가 민규가 지불해야 하는 금액의 최댓값이다.

마지막으로, P1 = 3, P2 = 5, P3 = 15, P4 = 16인 경우에는 3개 들어있는 카드팩과 1개 들어있는 카드팩을 구매해 18원을 지불하는 것이 최댓값이다.

카드 팩의 가격이 주어졌을 때, N개의 카드를 구매하기 위해 민규가 지불해야 하는 금액의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오. N개보다 많은 개수의 카드를 산 다음, 나머지 카드를 버려서 N개를 만드는 것은 불가능하다. 즉, 구매한 카드팩에 포함되어 있는 카드 개수의 합은 N과 같아야 한다.

## 입력

첫째 줄에 민규가 구매하려고 하는 카드의 개수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000)

둘째 줄에는 Pi가 P1부터 PN까지 순서대로 주어진다. (1 ≤ Pi ≤ 10,000)

## 출력

첫째 줄에 민규가 카드 N개를 갖기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값을 출력한다.

시간 제한	메모리 제한	제출	정답	맞힌 사람	정답 비율
1 초	256 MB	48155	29570	22234	61.276%

https://www.acmicpc.net/problem/11052

풀이

알고리즘 흐름

이문제는 DP로 푸는 문제이다. 문제에서 주어진 예시로 한번 이해해보자.

카드의 개수는 N개이고, N개의 카드를 갖기위해 지불하는 금액의 최대값을 dp[n] 이라고 해보자.

(P1=1) (P2=5) (P3=6) (P4=7)

P1의 뜻은 1장이 들어있는 카드팩(P1)의 가격이 1이라는 뜻이고, 이것을 예시로 들어보자.

카드 1개를 갖는다고 한다면, 그경우는 P1을 고르는 경우 한개일 것이다. 그러면,
dp[1] = P1 이 될것이다.

만약 카드 2장을 갖는다고 가정해보자. 그럼 2개가 들어있는 카드팩을 구매하거나, 1개짜리 카드팩을 2번 사는 경우이다. 이때 지불금액은 최대값이 되야하므로,

dp[2] = Max(P[2], dp[1] + dp[1])

이 될것이다.

다음으로 3장을 갖는 경우의 지불금액의 최대값을 구해보자.

• 1개짜리 카드팩 3개
• 2개짜리 카드팩 1개, 1개짜리 카드팩 1개
• 3개짜리 카드팩 1개

이렇게 3가지 경우가 될것이다. 이를 식으로 나타내보면,

dp[3] = Max(P[3], dp[2] + dp[1] , dp[1] x 3)

이 될것이다.

다음으로 4장을 갖는 경우이다.

• 1개짜리 카드팩 4개
• 2개짜리 카드팩 2개
• 3개짜리 카드팩 1개, 1개짜리 카드팩 1개
• 4개짜리 카드팩 1개

이렇게 4가지 경우가 될것이고, 식을 나타내면

dp[4] = Max(P[4], dp[3] + dp[1], dp[2] x 2, dp[1] x 4)

예를 들어 n = 4일때,
dp[4] =

• 카드 0개를 사기위한 최대 금액(dp[0]) + 4개짜리 카드팩 값(P4)
• 카드 1개를 사기위한 최대 금액(dp[1]) + 3개짜리 카드팩 값(P3)
• 카드 2개를 사기위한 최대 금액(dp[2]) + 2개짜리 카드팩 값(P2)
• 카드 3개를 사기위한 최대 금액(dp[3]) + 1개짜리 카드팩 값(P1)

이를 나타내보면

for(int i=1; i<=n; i++){
    for(int j=1; j<=i; j++){
        dp[i] = Max(dp[i], dp[i-j] + P[j]);
    }
}

핵심적인 부분은 작성됐으니 이를 바탕으로 코드를 구현해보자. 나는 Scanner + for문(bottom up) 방식으로 작성하였다.

코드

import java.util.Scanner;  

public class 카드구매하기 {  

    public static void main(String[] args) {  

        Scanner sc = new Scanner(System.in);  

        int n = sc.nextInt(); //구매하려는 카드의 개수  

        int [] p = new int[n + 1]; //카드마다 가격을 정한다.  

        for(int i=1; i<=n; i++){  
            p[i] = sc.nextInt();  
        }  

        int[] dp = new int[n + 1];  

        for(int i=1; i<=n; i++){  
            for(int j=1; j<=i; j++){  
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i-j] + p[j]);  
            }  
        }  

        System.out.println(dp[n]);  
        sc.close();  
    }  

}